I dette kapitel betragter vi en lineær operator
på et -vektorrum . I første omgang vil betegne et
generelt legeme, men senere vil vi alene betragte legemer indeholdende
uendeligt mange elementer.Vi starter med følgende fundamentale definition:
[Egenværdi og egenvektor]
Et element siges at være en
egenvektor for , såfremt der eksisterer
en skalar , så
Skalaren kaldes i givet fald for
egenværdien hørende til . Yderligere siges en skalar
at være en egenværdi for , såfremt der
eksisterer en egenvektor for med egenværdi .
Såfremt for en matrix , så kaldes en egenværdi (resp.
egenvektor) for også blot en egenværdi
(resp. egenvektor) for . Dermed siges at være en
egenvektor for med tilhørende egenværdi
, såfremt .
Vektoren
er en egenvektor for den reelle matrix
. Hvad er den tilhørende egenværdi?
0
1
2
3
Bemærk at en egenvektor ikke kan have to forskellige
egenværdier: hvis så er , idet (jf. Eksempel 7.7(1.)). Det bemærkes
også, at hvis er en egenvektor for med egenværdi ,
så er , for , også en
egenvektor for hørende til egenværdien .
Lad være en lineær operator og antag, at er egenvektorer for
med tilhørende egenværdier henholdsvis og .
Hvilke af følgende udsagn kan man med sikkerhed konkludere?
Betragt den lineære operator
hvor betegner differentialkvotienten af . Lad være defineret
ved , for . Markér egenværdien hørende til mht. til .
Betragt en kvadratisk matrix og den tilsvarende operator
Så er en egenvektor for , såfremt , og
for en passende skalar . F.eks. er en egenvektor med
egenværdi for den reelle matrix
idet
Lad betegne vektorrummet
af reelle uendeligt ofte differentiable
funktioner på . En egenvektor for
differentiationsafbildningen:
er da en funktion , forskellig fra nulfunktionen, opfyldende at for en passende
skalar . F.eks. er ,
for en given skalar , en egenvektor for med
egenværdi . Faktisk er enhver egenvektor for på
formen , for reelle skalarer
.
I Eksempel 12.4(2.) betragtede
vi en lineær operator ,
der havde uendeligt mange egenværdier.
Dette er kun muligt idet
i dette tilfælde. Vi påstår
nemlig:
Lad betegne egenvektorer for en operator
hørende til parvist forskellige egenværdier
. Så er lineært uafhængig. Specielt er .
Vi viser påstanden om lineær uafhængighed ved induktion i . Hvis
, så er lineært uafhængig, jf. Eksempel 7.7(1.), idet .
Antag herefter, at og at udsagnet er vist i tilfældet . Betragt da en lineær relation
med skalarer . Anvendes
operatoren på begge sider af lighedstegnet i
(12.2), så opnås
Vi kan nu multiplicere (12.2) med og herefter
fratrække (12.3). På den måde opnås, at
hvor vi har sat ,
for . Det bemærkes nu, at
og at vi derfor har en lineær relation
mellem . Pr. induktion har vi dermed, at
for .
Men
, og idet skalarerne
var antaget parvist forskellige, så konkluderes
Indsættes dette i (12.2), så opnås yderligere, at
og dermed må . Dette
afslutter argumentet for at er lineært uafhængig.Vurderingen følger af Lemma 7.11.
En lineær operator kan derfor maksimalt have
forskellige egenværdier. F.eks. vil , for en matrix , have maksimalt egenværdier.
12.1 Egenrum og geometriske multipliciteter
Vi skal nu studere mængden af alle egenvektorer
hørende til en fastholdt skalar. Vi definerer
først:
[Egenrum]
Lad betegne en lineær operator, og lad . Egenrummet for hørende til
defineres som mængden
Såfremt for en matrix , så anvender vi
også betegnelsen for
egenrummet.
Lad betegne matricen
og lad betegne
den tilsvarende operator. Angiv, hvornår
vektoren vil være et element i egenrummet
.
Det bemærkes, at egenrummet
består af nulvektoren samt alle egenvektorer med egenværdi lig . Egenrummet udmærker
sig ved at være et underrum i . Inden
vi viser dette,
så minder vi om, at
mængden af lineære operatorer på er et -vektorrum
(jf. Sætning 6.6). Dermed kan udtrykket nedenfor opfattes som en lineær operator på . Vi kan derfor formulere:
Lad betegne en lineær operator, og lad betegne en skalar. Egenrummet er identisk med kernen
for operatoren
på . Dvs.
Specielt er egenrummet et
underrum af .
At tilhører kernen
for operatoren ,
er ækvivalent med, at udtrykket
er lig nulvektoren . Men dette er oplagt ækvivalent med identiteten
hvilket netop er betingelsen for, at
tilhører egenrummet .
Udsagnet om at er et
underrum af , følger nu af Korollar 6.9
At egenrum er vektorrum, gør, at vi kan definere:
[Geometrisk multiplicitet]
Lad betegne en lineær operator, og lad betegne en skalar. Dimensionen
af egenrummet kaldes
for den geometriske
multiplicitet af , og betegnes med .
Såfremt for en matrix , så anvender vi
også betegnelsen for den
geometriske multiplicitet.
Lad være en lineær operator og antag, at begge er egenvektorer for
med tilhørende egenværdi .
Hvilke af følgende udsagn kan man med sikkerhed konkludere?
Hvis og er lineært uafhængige, så er .
er en egenvektor for med tilhørende egenværdi .
er en egenvektor for med tilhørende egenværdi
.
Det bemærkes, at er lig nulvektorrummet (svarende til
) hvis og kun hvis ikke er en egenværdi
for . Vi anvender dog stadig notationerne og
i dette tilfælde.
Sæt . At er indeholdt
i kernen for ,
er ækvivalent med, at udtrykket
er lig nulvektoren. Identiteten (12.4)
er dermed en konsekvens af
Proposition 12.7. Identiteten
(12.5) følger herefter af
(12.4) og definitionen på den
geometriske multiplicitet.
Nulrum, og dimensioner heraf, kan bestemmes via metoderne i
Afsnit 7.3, og dermed danner formlerne (12.4)
og (12.5) grundlaget for en konkret bestemmelse af egenrum
og geometriske multipliciteter i tilfældet .
Betragt den reelle matrix
Vi ønsker at bestemme egenrummet og den tilsvarende
geometriske multiplicitet. Idet
så bestemmes nulrummet for , og dermed egenrummet ,
til
Dimensionen af bestemmes som antallet af pivotfrie søjler i
en RREF for ; dvs.
Tilsvarende kan vi bestemme egenrummet ud fra beregningen
og vi opnår, at
samt at . Vi konkluderer, at både og er
egenværdier for . Senere vil vi se, at og er de eneste
egenværdier for .
Vi ønsker nu en konkret metode til bestemmelse af egenrum
og geometriske multipliciteter for
generelle lineære operatorer . Ideen er at reformulere
og i termer af matricer og herefter
at anvende allerede indført matrixteori. Som sædvanlig foregår
oversættelsen til matrixnotationen via en basis for (specielt må
vi antage, at har endelig dimension). Vi starter med at observere:
Lad betegne en lineær operator på et vektorrum
med basis .
Vi har da
Specielt er
Idet koordinatiseringensafbildningen
er en lineær isomorfi, så vil identiteten
gælde hvis og kun hvis identiteten
er opfyldt. Men ifølge de fundamentale egenskaber for
matrixrepræsentationer, så er
og dermed er (12.9) ækvivalent med, at
Dette viser identiteten (12.7).
Vi har dermed konstrueret en
bijektion
som, jf. Proposition 8.4, også er en lineær
transformation. Dermed, jf. Proposition 6.20, er
som ønsket.
Sammenholdt med udsagnet i Lemma 12.10 så giver
ovenstående resultat os en konkret metode til bestemmelse af
egenrummene og deres dimensioner
. Metoden virker for lineære operatorer på vektorrum af endelig dimension .Idet vi
allerede har vurderet antallet af egenværdier til at være mindre end
, jf. Proposition 12.5, så vil være lig for alle på nær
endelig mange værdier af , hvis er endelig.
Vi påstår:
Lad betegne en lineær operator på et vektorrum
af endelig dimension . Lad betegne parvist forskellige egenværdier for ,
og lad (med )
betegne en basis for egenrummet . Samlingen (ordnet
i vilkårlig rækkefølge)
er da lineært uafhængig. Specielt er
Betragt en lineær relation
for skalarer . Sæt da
for . Så er (12.11) ækvivalent med, at
Men summanden på venstresiden af (12.13) er
enten lig nulvektoren, eller også er den en egenvektor for med
egenværdi . Såfremt ikke alle 'erne er nul, så er
(12.13) dermed en lineær relation mellem egenvektorer
hørende til forskellige egenværdier, hvilket er umuligt ifølge
Proposition 12.5. Specielt er for .
Men så er (12.12) en lineær relation mellem basiselementerne i
, for , hvilket kun er muligt, hvis
for . Det følger hermed, at
er lineært uafhængig og dermed en basis for . Specielt er
I det specielle tilfældet hvor
udgør samtlige egenværdier for , så får man dermed
idet som bekendt er lig , når
ikke er en egenværdi for .
I Eksempel 12.11 fandt vi to egenværdier og
for den reelle matrix
samt tilhørende geometriske multipliciteter og
. Idet er en lineær operator på vektorrummet
af dimension , så vil summen af alle mulige geometriske
multipliciteter være maksimalt lig med
, jf. Proposition 12.13. Men
og der er dermed ikke plads til flere egenværdier (husk på, at
er en egenværdi netop når ).
12.2 Det karakteristiske polynomium
Vi mangler endnu at beskrive, hvordan man finder de mulige egenværdier
for en lineær operator på et vektorrum . Vi betragter i det følgende dette
problem i tilfældet, hvor er af endelig
dimension .Såfremt , for en matrix ,
så er en egenværdi hvis og kun hvis matricen har et ikke-trivielt nulrum,
jf. Lemma 12.10. Idet er kvadratisk, så er dette ækvivalent med, at ikke er invertibel
(jf. Proposition 4.6). Vi vil i det følgende anvende
determinanten til at afgøre invertibiliteten,
jf. Proposition 11.12, og definerer derfor:
[Karakteristisk polynomium for en matrix]
Lad betegne en kvadratisk matrix. Funktionen
kaldes for det
karakteristiske polynomium for .
Betragt .
Markér det karakteristiske polynomium for .
Vi konkluderer dermed følgende vigtige sætning:
Lad betegne en kvadratisk
matrix. Så er en egenværdi
for , hvis og kun hvis .
At betyder, pr. definition
af , at determinanten af matricen
er nul. Specielt
er hvis og kun hvis
er singulær,
jf. Proposition 11.12. Men, som
bemærket ovenfor, så er
netop singulær, når er en egenværdi
for .
At ovenstående resultat er anvendeligt illustreres
ved følgende eksempel.
Betragt den reelle matrix fra
Eksempel 12.4(1.):
Lad betegne et reelt tal. Så er en egenværdi
for , hvis og kun hvis determinanten
er lig nul. Dermed er
en egenværdi for præcis når
hvilket er opfyldt for tallene og . Vi
konkluderer derfor, at og udgør
samtlige egenværdier for . Egenvektorerne
for hørende til egenværdien bestemmes
ud fra nulrummet til matricen
Dette nulrum er lig ,
og egenvektorerne med egenværdien
er derfor elementerne på formen
Tilsvarende bestemmes
og mængden af egenvektorer med egenværdi udgøres da af
elementerne
I Eksempel 12.11 og
Eksempel 12.14 fandt vi, at den reelle matrix
kun har egenværdierne og . Vi vil nu
genfinde dette resultat vha. det karakteristiske polynomium. Vi
lader betegne et reelt tal, og indfører matricen
Ved udvikling af dennes determinant efter første række opnås
som er lig hvis og kun hvis eller . Vi
konkluderer dermed, at egenværdierne for er og .
For en matrix og en
skalar , så er
og dermed er ifølge
Korollar 11.20. Egenværdierne for og er dermed
identiske. Derimod behøver og ikke at have de samme
egenvektorer. Hvis f.eks.
som ovenfor, så er
og dermed er ikke en egenvektor for .
Lad være givet som i forrige quiz. Angiv en egenvektor for hørende til egenværdien .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
I ovenstående eksempler så vi, at lever op til navnet om at
være et polynomium. Dette gælder generelt, omend vi i givet fald må
kræve, at er et legeme med uendeligt mange elementer (husk, at vi
ikke har defineret polynomier over endelige legemer). Vi undersøger
dette nærmere i det kommende afsnit, men først ønsker vi at definere
det karakteristiske polynomium for generelle lineære operatorer på et vektorrum af endelig dimension . I første
omgang bemærker vi:
Lad , og lad betegne en
invertibel matrix, så
Så er de karakteristiske polynomier og identiske.
Hvis og er similære, og er invertibel, så er invertibel.Korrekt!
Dette følger af, at .
Forkert.
Hint: Betragt formlerne og .
også
ikke nødvendigvis
ikke
Similære matricer optræder naturligt
ifm. matrixrepræsentationer for lineære operatorer på vektorrum af endelig dimension . Hvis og
begge er baser for , så har vi, jf. Korollar 8.18,
følgende identitet
hvor det sidste lighedstegn følger af
Proposition 8.8(5.). Vi ser dermed, at
matrixrepræsentationerne og
er similære. I betragtning af
Lemma 12.20, så vil nedenstående definition derfor ikke afhænge af
den valgte basis .
[Karakteristisk polynomium]
Lad betegne en lineær operator på et vektorrum
af endelig dimension . Vælg en basis for . Funktionen
kaldes for det karakteristiske
polynomium for , og betegnes
også med .
Kombineres Proposition 12.12 med det allerede kendte, så opnår
vi derfor følgende generalisering af Proposition 12.16.
Lad betegne en lineær operator på et vektorrum
af endelig dimension . En skalar er en
egenværdi for hvis og kun hvis .
Vi lader betegne en basis for .
At er en egenværdi for , er
ækvivalent med, at den geometriske multiplicitet
er . Men, jf. Proposition 12.12, så er , hvor , og dermed er en egenværdi for
hvis og kun hvis er en egenværdi
for . Men, jf. Proposition 12.16, så
er en egenværdi for præcis når
. Endelig bemærkes det, at
pr. definition af , og det
ønskede er opnået.
12.3 Algebraiske multipliciteter
Vi betragter i dette afsnit en lineær operator
på et -vektorrum af endelig dimension . For at give mening
til polynomier så kræver vi yderligere, at er et legeme med
uendeligt mange elementer; som f.eks. eller . Vi ønsker i
første omgang at vise, at det karakteristiske polynomium faktisk
er et polynomium, og starter med observationen.
Lad betegne kvadratiske
matricer. Så er funktionen
et polynomium der enten er nulpolynomiet eller er af grad
højst .
Vi argumenterer via induktion i . Hvis
så er udsagnet oplagt, og vi antager derfor, at ,
og at resultatet er vist i tilfældet . Såfremt
og , så er den 'te
indgang i givet ved .
Ved udvikling af determinanten for efter
første søjle, jf. (11.3), så har
vi
Lad nu betegne funktionen
Idet
så følger det af induktionsantagelsen, at er
et polynomium, der, såfremt det er forskellig fra nulpolynomiet, har grad højst . Bemærk nu,
at
og at enhver summand, forskellig fra nul,
på højresiden af (12.16)
er et polynomium af grad højst .
Dette implicerer det ønskede.
Vi kan nu bevise, at:
Lad . Det karakteristiske polynomium er et
polynomium af grad på formen
for passende skalarer .
Vi anvender i det følgende notationen .
Vi argumenterer via induktion i . Hvis
, så er
hvilket opfylder det ønskede. Antag herefter, at , og
at udsagnet er vist i tilfældet . Såfremt vi udvikler determinanten af efter
første søjle, så får vi, at
Idet , så har vi pr. induktion, at
hvor betegner
passende skalarer. Specielt er
for passende skalarer .
Jf. (12.19), så er det derfor tilstrækkeligt at vise, at der for gælder,
at udtrykket
er polynomiel i af grad højst (evt.
lig nul). Idet , så følger
det sidste udsagn af Lemma 12.25.
Lad betegne en lineær
operator på et vektorrum af endelig
dimension . Da er det karakteristiske polynomium et polynomium af grad lig
.
Lad betegne en basis for bestående
af elementer. Idet er identisk med
, for , så følger
resultatet af Proposition 12.26.
Vi kan nu definere:
[Algebraisk multiplicitet]
Lad betegne en skalar. Multipliciteten af roden
i det karakteristiske polynomium kaldes for
den algebraiske
multiplicitet af for , og betegnes med
. Såfremt for en matrix , så anvender vi
også betegnelsen for
den algebraiske multiplicitet.
Lad betegne en matrix
med karakteristik polynomium givet ved
Angiv den algebraiske multiplicitet
af for den lineære operator defineret
ved .
definitionDet bemærkes, jf. Proposition 12.24, at hvis
og kun hvis er en egenværdi for
. Tilsvarende egenskab er
gældende for , og det er derfor fristende at tro, at
de geometriske og algebraiske multipliciteter er ens. Dette er dog
ikke tilfældet, hvilket følgende eksempel viser:
Betragt den reelle matrix
med karakteristisk polynomium
Heraf ses, at er den eneste egenværdi for , og at
Derimod beregnes som dimension af nulrummet af
dvs. til
Hvis , så er udsagnet oplagt. Antag derfor, at
, og lad
betegne en basis for egenrummet . Udvid herefter til en
basis
for . Idet er egenvektorer for ,
så vil
Specielt vil
og de første søjler i matrixrepræsentationen
er dermed identisk med de tilsvarende
søjler i , ifølge
Definition 8.14. Lad nu . Så har formen
En rekursiv udvikling af determinanten for efter
de første søjler giver da
hvoraf den algebraiske multiplicitet af aflæses til mindst
. Dvs.
som ønsket.
Vi har også følgende uligheder.
Lad betegne parvist
forskellige egenværdier for en lineær operator .
Så er
Den første ulighed følger af Proposition 12.30. Den anden
ulighed følger, idet summen af rodmultipliciterne for et polynomium
maksimalt er lig graden af polynomiet. Dermed er
og man skal derfor blot observere, at graden af er lig
ifølge Korollar 12.27.
Med en lille tilføjelse til beviset for Proposition 12.30
så kan man vise, at hvis og kun
hvis . Det
sidste udsagn er desuden ækvivalent med, at nulrummet
og søjlerummet kun
har nulvektoren til fælles. Pointen er, at
netop når
matricen (i beviset for Proposition 12.30)
er invertibel for . Detaljerne overlades til den
interessede læser.
12.4 Antallet af egenværdier
Indtil videre har vi studeret egenvektorer og egenværdier ud fra
antagelsen om, at de eksisterer. Det er dog ikke alle lineære
operatorer der har egenvektorer.
Betragt den reelle matrix
og den tilsvarende lineære operator
Det bemærkes, at er den såkaldte
hat-vektor hørende til ; dvs. en rotation af på
-grader modsat urets retning. Intuitivt er det derfor oplagt, at
aldrig er et multiplum af med mindre . Mere præcist så kan
man argumentere, at det karakteristiske polynomium for
er et reelt polynomium uden reelle rødder.
Angiv en reel matrix (forskellig fra den i det foregående eksempel) der ikke har nogen egenværdier.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Såfremt er en lineær operator på et endeligt
dimensionalt vektorrum af dimension , så vil have
egenværdier (og dermed egenvektorer) hvis og kun hvis det
karakteristiske polynomium har rødder. Som eksemplet ovenfor
viser, så er dette ikke altid tilfældet. For specielle legemer, de
såkaldt algebraisk lukkede legemer, vil polynomier (som ikke
er konstante) altid have rødder. Det simpleste eksempel på et
algebraisk lukket legeme er legemet af komplekse tal. Vi har her
følgende sætning, som vi vil anvende uden bevis:
[Algebraens Fundamentalsætning]
Ethvert, ikke-konstant,
komplekst polynomium har en kompleks rod. Specielt kan ethvert,
ikke-konstant, komplekst polynomium
opspaltes på formen
hvor er en kompleks skalar,
er parvist forskellige komplekse
skalarer, mens
er naturlige tal.
Alle størrelser
samt er desuden entydigt bestemte.
Specielt har vi, at alle karakteristiske polynomier for lineære operatorer på -vektorrum af
endelig dimension har rødder. Dvs.:
Lad betegne en lineær operator på et endeligt
dimensionalt komplekst vektorrum af dimension . Så har en
egenværdi og dermed også en tilhørende egenvektor.