12 Egenværdier

I dette kapitel betragter vi en lineær operator $L : V \rightarrow V$ på et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . I første omgang vil $\mathbb{F}$ betegne et generelt legeme, men senere vil vi alene betragte legemer indeholdende uendeligt mange elementer.

Vi starter med følgende fundamentale definition:

[Egenværdi og egenvektor] Et element ${\bm{v}} \in V \setminus\left\{\bm{0}\right\}$ siges at være en egenvektor for $L$ , såfremt der eksisterer en skalar $\lambda \in \mathbb{F}$ , så

$L({\bm{v}}) = \lambda \cdot {\bm{v}}. \tag{12.1}$ Skalaren $\lambda$ kaldes i givet fald for egenværdien hørende til ${\bm{v}}$ . Yderligere siges en skalar $\lambda \in \mathbb{F}$ at være en egenværdi for $L$ , såfremt der eksisterer en egenvektor for $L$ med egenværdi $\lambda$ . Såfremt $L=L_A$ for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så kaldes en egenværdi (resp. egenvektor) for $L_A$ også blot en egenværdi (resp. egenvektor) for $A$ . Dermed siges ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n \setminus \{ \bm{0} \}$ at være en egenvektor for $A$ med tilhørende egenværdi $\lambda$ , såfremt $A \cdot {\bm{v}} = \lambda \cdot {\bm{v}}$ .

Vektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ er en egenvektor for den reelle matrix $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Hvad er den tilhørende egenværdi?

Bemærk at en egenvektor ${\bm{v}}$ ikke kan have to forskellige egenværdier: hvis $\lambda \cdot {\bm{v}} = \mu \cdot {\bm{v}}$ så er $\lambda = \mu$ , idet ${\bm{v}} \neq \bm{0}$ (jf. Eksempel 7.7 (1.)). Det bemærkes også, at hvis ${\bm{v}}$ er en egenvektor for $L$ med egenværdi $\lambda$ , så er $a \cdot {\bm{v}}$ , for $a \in \mathbb{F} \setminus \{ 0 \}$ , også en egenvektor for $L$ hørende til egenværdien $\lambda$ .

Quiz

Lad $L : V \to V$ være en lineær operator og antag, at ${\bm{v}},\bm{w}$ er egenvektorer for $L$ med tilhørende egenværdier henholdsvis $\lambda_1$ og $\lambda_2$ . Hvilke af følgende udsagn kan man med sikkerhed konkludere?

$2{\bm{v}} + 8\bm{w}$ er en egenvektor for $L$ med tilhørende egenværdi $2\lambda_1 + 8\lambda_2$ .

$2{\bm{v}}$ er en egenvektor for $L$ med tilhørende egenværdi $2 \lambda_1$ .

$2{\bm{v}}$ er en egenvektor for $L$ med tilhørende egenværdi $\lambda_1$ .

$L({\bm{v}}) = \lambda_1 {\bm{v}}$ .

Quiz

Betragt den lineære operator

$\begin{aligned} D: C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) &\to C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \\ f &\mapsto 2 \cdot f', \end{aligned}$ hvor $f'$ betegner differentialkvotienten af $f$ . Lad $g \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ være defineret ved $g(x) = 18 \cdot e^{6x}$ , for $x \in \mathbb{R}$ . Markér egenværdien hørende til $g$ mht. til $D$ .

$6$

$2$

$12$

$72$

$\frac{1}{3}$

$36$

Betragt en kvadratisk matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ og den tilsvarende operator
$\begin{aligned} L_A : \mathbb{F}^n & \rightarrow \mathbb{F}^n, \\ \bm{x} & \mapsto A \cdot \bm{x}. \end{aligned}$ Så er ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ en egenvektor for $L_A$ , såfremt ${\bm{v}} \neq \bm{0}$ , og
$A \cdot {\bm{v}} = \lambda \cdot {\bm{v}},$ for en passende skalar $\lambda \in \mathbb{F}$ . F.eks. er $(1,1)^T \in \mathbb{R}^2$ en egenvektor med egenværdi $8$ for den reelle matrix
$A= \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} ,$ idet
$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} = 8 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} .$
Lad $V$ betegne vektorrummet $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ af reelle uendeligt ofte differentiable funktioner på $\mathbb{R}$ . En egenvektor for differentiationsafbildningen:
$\begin{aligned} D : C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}) & \rightarrow C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}), \\ f & \mapsto f', \end{aligned}$ er da en funktion $f$ , forskellig fra nulfunktionen, opfyldende at $f'=\lambda \cdot f$ for en passende skalar $\lambda \in \mathbb{R}$ . F.eks. er $f(t) = e^{\lambda \cdot t}$ , for en given skalar $\lambda \in \mathbb{R}$ , en egenvektor for $D$ med egenværdi $\lambda$ . Faktisk er enhver egenvektor for $D$ på formen $g(t) = a \cdot e^{\lambda \cdot t}$ , for reelle skalarer $a, \lambda \in \mathbb{R}$ .

I Eksempel 12.4 (2.) betragtede vi en lineær operator $L : V \rightarrow V$ , der havde uendeligt mange egenværdier. Dette er kun muligt idet $\mathrm{dim}(V)=\infty$ i dette tilfælde. Vi påstår nemlig:

Lad ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_n$ betegne egenvektorer for en operator $L : V \rightarrow V$ hørende til parvist forskellige egenværdier $\lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ . Så er $\mathcal{V} = ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n)$ lineært uafhængig. Specielt er $n \leq \mathrm{dim}(V)$ .

Bevis

Vi viser påstanden om lineær uafhængighed ved induktion i $n$ . Hvis $n=1$ , så er $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1)$ lineært uafhængig, jf. Eksempel 7.7 (1.), idet ${\bm{v}}_1 \neq \bm{0}$ . Antag herefter, at $n>1$ og at udsagnet er vist i tilfældet $n-1$ . Betragt da en lineær relation

$\alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n = \bm{0}, \tag{12.2}$ med skalarer $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{F}$ . Anvendes operatoren $L$ på begge sider af lighedstegnet i (12.2), så opnås

$\begin{aligned} \bm{0} & = L(\bm{0}) && \text{(jf. Kor. \href{kap6.html#cor:RegneregelLinTrans}{6.3} \href{kap6.html#item:cor:RegneregelLinTrans:a}{(1.)})}\\ & = L\Bigl(\sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i\Bigr) && \\ & = \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot L({\bm{v}}_i) & & \text{(jf. Prop. \href{kap6.html#prop:RegneregelLinTrans}{6.2}) } \\ & = \sum_{i=1}^n (\alpha_i \lambda_i) \cdot {\bm{v}}_i & & \text{(idet } {\bm{v}}_i \text{ er en egenvektor)} \end{aligned}\tag{12.3}$ Vi kan nu multiplicere (12.2) med $\lambda_n$ og herefter fratrække (12.3). På den måde opnås, at

$\begin{aligned} \bm{0} & = \lambda_n \cdot \bm{0} - \bm{0} \\ & = \lambda_n \cdot \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot {\bm{v}}_i - \sum_{i=1}^n (\alpha_i \lambda_i) \cdot {\bm{v}}_i \\ & = \sum_{i=1}^n (\alpha_i \lambda_n - \alpha_i \lambda_i) \cdot {\bm{v}}_i \\ & = \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot {\bm{v}}_i, \end{aligned}$ hvor vi har sat $\beta_i = \alpha_i \lambda_n - \alpha_i \lambda_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Det bemærkes nu, at

$\beta_n = \alpha_n \lambda_n - \alpha_n \lambda_n = 0,$ og at vi derfor har en lineær relation

$\sum_{i=1}^{n-1} \beta_i {\bm{v}}_i = \bm{0},$ mellem ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_{n-1}$ . Pr. induktion har vi dermed, at $\beta_i=0$ for $i=1,2,\ldots,n-1$ . Men $\beta_i=\alpha_i(\lambda_n - \lambda_i)$ , og idet skalarerne $\lambda_i$ var antaget parvist forskellige, så konkluderes

$\alpha_1= \alpha_2 = \ldots = \alpha_{n-1} =0.$ Indsættes dette i (12.2), så opnås yderligere, at

$\alpha_n \cdot {\bm{v}}_n = \bm{0},$ og dermed må $\alpha_n=0$ . Dette afslutter argumentet for at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig.

Vurderingen $n \leq \mathrm{dim}(V)$ følger af Lemma 7.11.

En lineær operator $L : V \rightarrow V$ kan derfor maksimalt have $\mathrm{dim}(V)$ forskellige egenværdier. F.eks. vil $L_A$ , for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , have maksimalt $n$ egenværdier.

12.1 Egenrum og geometriske multipliciteter

Vi skal nu studere mængden af alle egenvektorer hørende til en fastholdt skalar. Vi definerer først:

[Egenrum] Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator, og lad $\lambda \in \mathbb{F}$ . Egenrummet for $L$ hørende til $\lambda$ defineres som mængden

$E_L(\lambda) = \left\{ {\bm{v}} \in V \mid L({\bm{v}}) = \lambda \cdot {\bm{v}} \right\}.$ Såfremt $L=L_A$ for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så anvender vi også betegnelsen $E_A(\lambda)$ for egenrummet.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R})$ betegne matricen

$A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$ og lad $L_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ betegne den tilsvarende operator. Angiv, hvornår vektoren $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$ vil være et element i egenrummet $E_A(1)$ .

$x=y=1$

$x=1, y=-1$

$x+y = 0$

$2x+y = x, \\ x+2y=y$

Det bemærkes, at egenrummet $E_L(\lambda)$ består af nulvektoren samt alle egenvektorer med egenværdi lig $\lambda$ . Egenrummet udmærker sig ved at være et underrum i $V$ . Inden vi viser dette, så minder vi om, at mængden af lineære operatorer $\mathcal L(V,V)$ på $V$ er et $\mathbb{F}$ -vektorrum (jf. Sætning 6.6). Dermed kan udtrykket $L - \lambda \cdot {\rm Id}_V$ nedenfor opfattes som en lineær operator på $V$ . Vi kan derfor formulere:

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator, og lad $\lambda \in \mathbb{F}$ betegne en skalar. Egenrummet $E_L(\lambda)$ er identisk med kernen for operatoren $L-\lambda \cdot {\rm Id}_V$ på $V$ . Dvs.

$E_L(\lambda) = \ker(L-\lambda \cdot {\rm Id}_V).$ Specielt er egenrummet $E_L(\lambda)$ et underrum af $V$ .

Bevis

At ${\bm{v}} \in V$ tilhører kernen for operatoren $L-\lambda \cdot {\rm Id}_V$ , er ækvivalent med, at udtrykket

$(L-\lambda \cdot {\rm Id}_V) ({\bm{v}}) = L({\bm{v}}) - \lambda \cdot {\bm{v}}$ er lig nulvektoren $\bm{0}$ . Men dette er oplagt ækvivalent med identiteten

$L ({\bm{v}}) = \lambda \cdot {\bm{v}},$ hvilket netop er betingelsen for, at ${\bm{v}}$ tilhører egenrummet $E_L(\lambda)$ . Udsagnet om at $E_L(\lambda)$ er et underrum af $V$ , følger nu af Korollar 6.9

At egenrum er vektorrum, gør, at vi kan definere:

[Geometrisk multiplicitet] Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator, og lad $\lambda \in \mathbb{F}$ betegne en skalar. Dimensionen af egenrummet $E_L(\lambda)$ kaldes for den geometriske multiplicitet af $\lambda$ , og betegnes med $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ . Såfremt $L=L_A$ for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så anvender vi også betegnelsen $\mathrm{Geo}_A(\lambda)$ for den geometriske multiplicitet.

Quiz

Lad $L : V \to V$ være en lineær operator og antag, at ${\bm{v}},\bm{w}$ begge er egenvektorer for $L$ med tilhørende egenværdi $\lambda$ . Hvilke af følgende udsagn kan man med sikkerhed konkludere?

Hvis ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ er lineært uafhængige, så er $\mathrm{Geo}_L(\lambda) \geq 2$ .

$2{\bm{v}} + 8\bm{w}$ er en egenvektor for $L$ med tilhørende egenværdi $10 \lambda$ .

$2{\bm{v}} + 8\bm{w}$ er en egenvektor for $L$ med tilhørende egenværdi $\lambda.$

$\mathrm{Geo}_L(\lambda) \geq 1$ .

Det bemærkes, at $E_L(\lambda)$ er lig nulvektorrummet (svarende til $\mathrm{Geo}_L(\lambda)=0$ ) hvis og kun hvis $\lambda$ ikke er en egenværdi for $L$ . Vi anvender dog stadig notationerne $E_L(\lambda)$ og $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ i dette tilfælde.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ og $\lambda \in \mathbb{F}$ . Så er

$E_A(\lambda) = N(A - \lambda \cdot \mathrm{I}), \tag{12.4}$ og specielt er

$\mathrm{Geo}_A(\lambda) = \mathrm{dim}\bigl(N(A - \lambda \cdot \mathrm{I} )\bigr). \tag{12.5}$

Bevis

Sæt $L=L_A$ . At ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ er indeholdt i kernen for $L - \lambda \cdot {\rm Id}_{\mathbb{F}^n}$ , er ækvivalent med, at udtrykket

$(L - \lambda \cdot {\rm Id}_{\mathbb{F}^n})({\bm{v}}) = A \cdot {\bm{v}} - \lambda \cdot {\bm{v}} = (A - \lambda \cdot \mathrm{I}) \cdot {\bm{v}} \tag{12.6}$ er lig nulvektoren. Identiteten (12.4) er dermed en konsekvens af Proposition 12.7. Identiteten (12.5) følger herefter af (12.4) og definitionen på den geometriske multiplicitet.

Nulrum, og dimensioner heraf, kan bestemmes via metoderne i Afsnit 7.3, og dermed danner formlerne (12.4) og (12.5) grundlaget for en konkret bestemmelse af egenrum og geometriske multipliciteter i tilfældet $L=L_A$ .

Betragt den reelle matrix

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}.$ Vi ønsker at bestemme egenrummet $E_A(1)$ og den tilsvarende geometriske multiplicitet. Idet

$\begin{aligned} A- 1 \cdot I & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \end{aligned}$ så bestemmes nulrummet for $A - 1 \cdot I$ , og dermed egenrummet $E_A(1)$ , til

$\mathrm{Span}\bigl( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \bigr).$ Dimensionen af $N(A-1 \cdot I)$ bestemmes som antallet af pivotfrie søjler i en RREF for $A- 1\cdot I$ ; dvs.

$\mathrm{Geo}_A(1) =2.$ Tilsvarende kan vi bestemme egenrummet $E_A(4)$ ud fra beregningen

$\begin{aligned} A- 4 \cdot I & = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \end{aligned}$ og vi opnår, at

$E_A(4) = \mathrm{Span} \bigl( \footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \bigr),$ samt at $\mathrm{Geo}_A(4)=1$ . Vi konkluderer, at både $1$ og $4$ er egenværdier for $A$ . Senere vil vi se, at $1$ og $4$ er de eneste egenværdier for $A$ .

Vi ønsker nu en konkret metode til bestemmelse af egenrum $E_L(\lambda)$ og geometriske multipliciteter $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ for generelle lineære operatorer $L$ . Ideen er at reformulere $E_L(\lambda)$ og $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ i termer af matricer og herefter at anvende allerede indført matrixteori. Som sædvanlig foregår oversættelsen til matrixnotationen via en basis for $V$ (specielt må vi antage, at $V$ har endelig dimension). Vi starter med at observere:

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et vektorrum $V$ med basis $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_n)$ . Vi har da

$E_L(\lambda) = \left\{ {\bm{v}} \in V \mid [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \in E_{{}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}}(\lambda)\right\}. \tag{12.7}$ Specielt er

$\mathrm{Geo}_L(\lambda) = \mathrm{Geo}_{ {}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} } (\lambda).$

Bevis

Idet koordinatiseringensafbildningen

$[\,\cdot\,]_{\mathcal{V}} : V \rightarrow \mathbb{F}^n,$ er en lineær isomorfi, så vil identiteten

$L({\bm{v}}) = \lambda \cdot {\bm{v}}, \tag{12.8}$ gælde hvis og kun hvis identiteten

$[L({\bm{v}})]_{\mathcal{V}} = [\lambda \cdot {\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \lambda \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \tag{12.9}$ er opfyldt. Men ifølge de fundamentale egenskaber for matrixrepræsentationer, så er

$[L({\bm{v}})]_{\mathcal{V}} = {}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} ,$ og dermed er (12.9) ækvivalent med, at

${}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \lambda \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} . \tag{12.10}$ Dette viser identiteten (12.7). Vi har dermed konstrueret en bijektion

$\begin{aligned} [\,\cdot\,]_{\mathcal{V}} : E_L(\lambda) & \rightarrow E_{ {}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} }(\lambda), \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} , \end{aligned}$ som, jf. Proposition 8.4, også er en lineær transformation. Dermed, jf. Proposition 6.20, er

$\mathrm{Geo}_L(\lambda) = \mathrm{dim}\bigl(E_L(\lambda)\bigr) = \mathrm{dim}\bigl( E_{ {}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} }(\lambda) \bigr) = \mathrm{Geo}_{ {}_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}} }(\lambda),$ som ønsket.

Sammenholdt med udsagnet i Lemma 12.10 så giver ovenstående resultat os en konkret metode til bestemmelse af egenrummene $E_L(\lambda)$ og deres dimensioner $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ . Metoden virker for lineære operatorer $L : V \rightarrow V$ på vektorrum af endelig dimension ${>0}$ .

Idet vi allerede har vurderet antallet af egenværdier til at være mindre end $\mathrm{dim}(V)$ , jf. Proposition 12.5, så vil $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ være lig $0$ for alle på nær endelig mange værdier af $\lambda$ , hvis $\mathrm{dim}(V)$ er endelig. Vi påstår:

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et vektorrum $V$ af endelig dimension ${>0}$ . Lad $\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k \in \mathbb{F}$ betegne parvist forskellige egenværdier for $L$ , og lad (med $d_i=\mathrm{Geo}_L(\lambda_i)$ )

$\mathcal{V}_i=({\bm{v}}_{i1},{\bm{v}}_{i2},\ldots,{\bm{v}}_{i d_i}),$ betegne en basis for egenrummet $E_L(\lambda_i)$ . Samlingen (ordnet i vilkårlig rækkefølge)

$\mathcal{V}=({\bm{v}}_{ij})_{1 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq d_i}$ er da lineært uafhængig. Specielt er

$\sum_{\lambda \in \mathbb{F}} \mathrm{Geo}_L(\lambda) \leq \mathrm{dim}(V).$

Bevis

Betragt en lineær relation

$\sum_{i,j} \alpha_{ij} {\bm{v}}_{ ij} = \bm{0}, \tag{12.11}$ for skalarer $\alpha_{ij} \in \mathbb{F}$ . Sæt da

$\bm{w}_i = \sum_{j=1}^{d_i} \alpha_{ij} {\bm{v}}_{ij} \in E_L(\lambda_i), \tag{12.12}$ for $i=1,2,\ldots,k$ . Så er (12.11) ækvivalent med, at

$\bm{w}_1+ \bm{w}_2 + \ldots +\bm{w}_k = \bm{0}. \tag{12.13}$ Men summanden $\bm{w}_i$ på venstresiden af (12.13) er enten lig nulvektoren, eller også er den en egenvektor for $L$ med egenværdi $\lambda_i$ . Såfremt ikke alle $\bm{w}_i$ 'erne er nul, så er (12.13) dermed en lineær relation mellem egenvektorer hørende til forskellige egenværdier, hvilket er umuligt ifølge Proposition 12.5. Specielt er $\bm{w}_i=\bm{0}$ for $i=1,2,\ldots,k$ . Men så er (12.12) en lineær relation mellem basiselementerne i $\mathcal{V}_i$ , for $i=1,2, \ldots,k$ , hvilket kun er muligt, hvis $\alpha_{ij}=0$ for $j=1,2,\ldots, d_i$ . Det følger hermed, at $\mathcal{V}$ er lineært uafhængig og dermed en basis for $\mathrm{Span}(\mathcal{V})$ . Specielt er

$\mathrm{dim}(V) \geq \mathrm{dim}\bigl(\mathrm{Span}(\mathcal{V})\bigr) = \sum_{i=1}^k d_i = \sum_{i=1}^k \mathrm{Geo}_L(\lambda_i).$ I det specielle tilfældet hvor $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ udgør samtlige egenværdier for $L$ , så får man dermed

$\sum_{\lambda \in \mathbb{F}} \mathrm{Geo}_L(\lambda) \leq \mathrm{dim}(V),$ idet $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ som bekendt er lig $0$ , når $\lambda \in \mathbb{F}$ ikke er en egenværdi for $L$ .

I Eksempel 12.11 fandt vi to egenværdier $\lambda_1=1$ og $\lambda_2=4$ for den reelle matrix

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} ,$ samt tilhørende geometriske multipliciteter $\mathrm{Geo}_A(1) = 2$ og $\mathrm{Geo}_A(4)=1$ . Idet $L_A$ er en lineær operator på vektorrummet $\mathbb{R}^3$ af dimension $3$ , så vil summen af alle mulige geometriske multipliciteter være maksimalt lig med $3$ , jf. Proposition 12.13. Men

$\mathrm{Geo}_A(1) + \mathrm{Geo}_A(4) = 3,$ og der er dermed ikke plads til flere egenværdier (husk på, at $\lambda$ er en egenværdi netop når $\mathrm{Geo}_A(\lambda) >0$ ).

12.2 Det karakteristiske polynomium

Vi mangler endnu at beskrive, hvordan man finder de mulige egenværdier for en lineær operator $L : V \rightarrow V$ på et vektorrum $V$ . Vi betragter i det følgende dette problem i tilfældet, hvor $V$ er af endelig dimension $>0$ .

Såfremt $L=L_A$ , for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så er $\lambda$ en egenværdi hvis og kun hvis matricen $A - \lambda \cdot \mathrm{I}$ har et ikke-trivielt nulrum, jf. Lemma 12.10. Idet $A - \lambda \cdot \mathrm{I}$ er kvadratisk, så er dette ækvivalent med, at $A - \lambda \cdot \mathrm{I}$ ikke er invertibel (jf. Proposition 4.6). Vi vil i det følgende anvende determinanten til at afgøre invertibiliteten, jf. Proposition 11.12, og definerer derfor:

[Karakteristisk polynomium for en matrix] Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en kvadratisk matrix. Funktionen

$\begin{aligned} p_A : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ t & \mapsto \mathrm{det}(A-t \cdot \mathrm{I}), \end{aligned}$ kaldes for det karakteristiske polynomium for $A$ .

Betragt $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Markér det karakteristiske polynomium for $A$ .

$p_A(t) = -2 - t$

$p_A(t) =t^2 - 2$

$p_A(t) =t^2 - 5t -2$

$p_A(t) =t^2 - 10t - 4$

Vi konkluderer dermed følgende vigtige sætning:

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en kvadratisk matrix. Så er $\lambda \in \mathbb{F}$ en egenværdi for $A$ , hvis og kun hvis $p_A(\lambda)=0$ .

Bevis

At $p_A(\lambda)=0$ betyder, pr. definition af $p_A$ , at determinanten af matricen $A- \lambda \cdot \mathrm{I}$ er nul. Specielt er $p_A(\lambda)=0$ hvis og kun hvis $A- \lambda \cdot \mathrm{I}$ er singulær, jf. Proposition 11.12. Men, som bemærket ovenfor, så er $A- \lambda \cdot \mathrm{I}$ netop singulær, når $\lambda$ er en egenværdi for $A$ .

At ovenstående resultat er anvendeligt illustreres ved følgende eksempel.

Betragt den reelle matrix fra Eksempel 12.4 (1.):
$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} .$ Lad $\lambda$ betegne et reelt tal. Så er $\lambda$ en egenværdi for $A$ , hvis og kun hvis determinanten
$\begin{aligned} \mathrm{det}(A - \lambda \cdot \mathrm{I} ) & = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 6 \\ 5 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \\ & = (2-\lambda)(3-\lambda)-30 \\ & = \lambda^2 - 5 \cdot \lambda -24 \end{aligned}$ er lig nul. Dermed er $\lambda$ en egenværdi for $A$ præcis når
$\lambda^2 - 5 \cdot \lambda -24 =0,$ hvilket er opfyldt for tallene $8$ og $-3$ . Vi konkluderer derfor, at $\lambda_1=8$ og $\lambda_2=-3$ udgør samtlige egenværdier for $A$ . Egenvektorerne for $A$ hørende til egenværdien $8$ bestemmes ud fra nulrummet til matricen
$A-8 \cdot I = \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} .$ Dette nulrum er lig $\mathrm{Span}\bigl((1,1)^T\bigr)$ , og egenvektorerne med egenværdien $8$ er derfor elementerne på formen
$\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \quad \text{for } a \neq 0.$ Tilsvarende bestemmes
$N(A+3 \cdot I) = \mathrm{Span} \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} ,$ og mængden af egenvektorer med egenværdi $-3$ udgøres da af elementerne
$\begin{pmatrix} 6 \cdot a \\ -5 \cdot a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \quad \text{for } a \neq 0.$
I Eksempel 12.11 og Eksempel 12.14 fandt vi, at den reelle matrix
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$ kun har egenværdierne $\lambda_1=1$ og $\lambda_2=4$ . Vi vil nu genfinde dette resultat vha. det karakteristiske polynomium. Vi lader $\lambda$ betegne et reelt tal, og indfører matricen
$A - \lambda \cdot I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \\ \end{pmatrix} .$ Ved udvikling af dennes determinant efter første række opnås
$\begin{aligned} p_A(\lambda) & = \mathrm{det}(A-\lambda \cdot I) \\ & = (2-\lambda) ( (2-\lambda)^2 -1 ) - 1 ( (2-\lambda) -1) + 1 (1-(2-\lambda)) \\ & = (2-\lambda) ((2-\lambda) -1) ((2-\lambda)+1) + 2(\lambda - 1) \\ & = (2-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda) + 2(\lambda-1) \\ & = (\lambda-1) ( (\lambda-2)(3-\lambda)+2) \\ & = -(\lambda-1) (\lambda^2 - 5 \lambda +4) \\ & = -(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-4), \end{aligned}$ som er lig $0$ hvis og kun hvis $\lambda=1$ eller $\lambda=4$ . Vi konkluderer dermed, at egenværdierne for $A$ er $1$ og $4$ .
For en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ og en skalar $\lambda \in \mathbb{F}$ , så er
$( A- \lambda \cdot \mathrm{I})^T = A^T - \lambda \cdot \mathrm{I} ,$ og dermed er $p_A(\lambda)=p_{A^{T}}(\lambda)$ ifølge Korollar 11.20. Egenværdierne for $A$ og $A^T$ er dermed identiske. Derimod behøver $A$ og $A^T$ ikke at have de samme egenvektorer. Hvis f.eks.
$A= \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \\ \end{pmatrix} ,$ som ovenfor, så er
$A^T \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix} ,$ og dermed er $(1,1)^T$ ikke en egenvektor for $A^T$ .

Quiz

Lad $a,b,c \in \mathbb{R}$ være parvist forskellige og betragt matricen

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}.$ Hvilke af følgende udsagn er korrekte?

$a$ er en egenværdi for $A$ .

$b$ er en egenværdi for $A$ .

$c$ er en egenværdi for $A$ .

$A$ har ingen egenværdier.

Quiz

Lad $A$ være givet som i forrige quiz. Angiv en egenvektor for $A$ hørende til egenværdien $a$ .

Dit svar: Det er en

I ovenstående eksempler så vi, at $p_A$ lever op til navnet om at være et polynomium. Dette gælder generelt, omend vi i givet fald må kræve, at $\mathbb{F}$ er et legeme med uendeligt mange elementer (husk, at vi ikke har defineret polynomier over endelige legemer). Vi undersøger dette nærmere i det kommende afsnit, men først ønsker vi at definere det karakteristiske polynomium for generelle lineære operatorer $L : V \rightarrow V$ på et vektorrum $V$ af endelig dimension $>0$ . I første omgang bemærker vi:

Lad $A, B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , og lad $S \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en invertibel matrix, så

$A = S^{-1} \cdot B \cdot S. \tag{12.14}$ Så er de karakteristiske polynomier $p_A$ og $p_B$ identiske.

Bevis

Lad $t \in \mathbb{F}$ . Vi skal vise, at $p_A(t)=p_B(t)$ ; dvs. at

$\mathrm{det}(A-t \cdot \mathrm{I}) = \mathrm{det}(B- t \cdot \mathrm{I}).$ Men

$\begin{aligned} S^{-1} \cdot (B - t \cdot \mathrm{I}) \cdot S & = S^{-1} B S - t \cdot S^{-1} S \\ & = A- t \cdot \mathrm{I}. \end{aligned}\tag{12.15}$ Derfor

$\begin{aligned} p_A(t) & = \mathrm{det}(A- t \cdot \mathrm{I}) & & \\ & = \mathrm{det}(S^{-1} \cdot (B - t \cdot \mathrm{I}) \cdot S) & & \text{(jf. \href{#similaerekar}{(12.15)})} \\ & = \mathrm{det}(S^{-1}) \cdot \mathrm{det}(B-t \cdot \mathrm{I}) \cdot \mathrm{det}(S) & & \text{(jf. Prop. \href{kap11.html#prop:predetegenskaber}{11.12}) } \\ & = \mathrm{det}(S^{-1}) \cdot \mathrm{det}(S) \cdot p_B(t) & & \\ & = p_B(t), & & \end{aligned}$ hvilket afslutter beviset.

Ovenstående resultat leder naturligt frem til følgende definition.

[Similære matricer] Lad $A, B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne kvadratiske matricer. Vi siger, at $A$ og $B$ er similære, hvis der eksisterer en invertibel matrix $S \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så $A = S^{-1} \cdot B \cdot S$ .

Quiz

Hvis $A$ og $B$ er similære, og $A$ er invertibel, så er $B$

invertibel.

også

ikke nødvendigvis

ikke

Similære matricer optræder naturligt ifm. matrixrepræsentationer for lineære operatorer $L : V \rightarrow V$ på vektorrum $V$ af endelig dimension $>0$ . Hvis $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ begge er baser for $V$ , så har vi, jf. Korollar 8.18, følgende identitet

$\begin{aligned} {_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}} & = {_{{\mathcal{V}}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}}} \\ & = {_{{\mathcal{W}}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}^{-1} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}}} . \end{aligned}$ hvor det sidste lighedstegn følger af Proposition 8.8 (5.). Vi ser dermed, at matrixrepræsentationerne ${_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ og ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}}$ er similære. I betragtning af Lemma 12.20, så vil nedenstående definition derfor ikke afhænge af den valgte basis $\mathcal{V}$ .

[Karakteristisk polynomium] Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et vektorrum af endelig dimension $>0$ . Vælg en basis $\mathcal{V}$ for $V$ . Funktionen $p_{{_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}}}$ kaldes for det karakteristiske polynomium for $L$ , og betegnes også med $p_L$ .

Kombineres Proposition 12.12 med det allerede kendte, så opnår vi derfor følgende generalisering af Proposition 12.16.

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et vektorrum af endelig dimension $>0$ . En skalar $\lambda \in \mathbb{F}$ er en egenværdi for $L$ hvis og kun hvis $p_L(\lambda) =0$ .

Bevis

Vi lader $\mathcal{V}$ betegne en basis for $V$ . At $\lambda \in \mathbb{F}$ er en egenværdi for $L$ , er ækvivalent med, at den geometriske multiplicitet $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ er $>0$ . Men, jf. Proposition 12.12, så er $\mathrm{Geo}_L(\lambda) = \mathrm{Geo}_A(\lambda)$ , hvor $A = {_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}}$ , og dermed er $\lambda$ en egenværdi for $L$ hvis og kun hvis $\lambda$ er en egenværdi for $A$ . Men, jf. Proposition 12.16, så er $\lambda$ en egenværdi for $A$ præcis når $p_A(\lambda)=0$ . Endelig bemærkes det, at $p_A= p_L$ pr. definition af $p_L$ , og det ønskede er opnået.

12.3 Algebraiske multipliciteter

Vi betragter i dette afsnit en lineær operator $L : V \rightarrow V$ på et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ af endelig dimension $>0$ . For at give mening til polynomier så kræver vi yderligere, at $\mathbb{F}$ er et legeme med uendeligt mange elementer; som f.eks. $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ . Vi ønsker i første omgang at vise, at det karakteristiske polynomium $p_L$ faktisk er et polynomium, og starter med observationen.

Lad $A, B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne kvadratiske matricer. Så er funktionen

$\begin{aligned} f : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ t & \mapsto \mathrm{det}(A+t\cdot B), \end{aligned}$ et polynomium der enten er nulpolynomiet eller er af grad højst $n$ .

Bevis

Vi argumenterer via induktion i $n >0$ . Hvis $n=1$ så er udsagnet oplagt, og vi antager derfor, at $n>1$ , og at resultatet er vist i tilfældet $n-1$ . Såfremt $A=(a_{ij})$ og $B=(b_{ij})$ , så er den $(i,j)$ 'te indgang i $A+t\cdot B$ givet ved $a_{ij} + t b_{ij}$ . Ved udvikling af determinanten for $A+t\cdot B$ efter første søjle, jf. (11.3), så har vi

$\begin{aligned} \mathrm{det}(A+t\cdot B) & = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot (a_{k1}+ t \cdot b_{k1}) \cdot \mathrm{det}\bigl(M_{k,1}(A+t \cdot B)\bigr). \end{aligned}$ Lad nu $f_k : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ betegne funktionen

$\begin{aligned} f_k : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ t & \mapsto \mathrm{det}(M_{k,1}(A+t \cdot B)). \end{aligned}$ Idet

$M_{k,1}(A+t \cdot B) = M_{k,1}(A) + t \cdot M_{k,1}(B),$ så følger det af induktionsantagelsen, at $f_k$ er et polynomium, der, såfremt det er forskellig fra nulpolynomiet, har grad højst $n-1$ . Bemærk nu, at

$f(t) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot (a_{k1}+ t \cdot b_{k1}) \cdot f_k(t), \tag{12.16}$ og at enhver summand, forskellig fra nul, på højresiden af (12.16) er et polynomium af grad højst $n$ . Dette implicerer det ønskede.

Vi kan nu bevise, at:

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ . Det karakteristiske polynomium $p_A$ er et polynomium af grad $n$ på formen

$p_A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + \cdots + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + (-1)^{n} \cdot t^n, \tag{12.17}$ for passende skalarer $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{F}$ .

Bevis

Vi anvender i det følgende notationen $A=(a_{ij})$ . Vi argumenterer via induktion i $n>0$ . Hvis $n=1$ , så er

$p_A(t) = a_{11} - t, \tag{12.18}$ hvilket opfylder det ønskede. Antag herefter, at $n>1$ , og at udsagnet er vist i tilfældet $n-1$ . Såfremt vi udvikler determinanten af $A - t \cdot \mathrm{I}$ efter første søjle, så får vi, at

$\begin{aligned} p_A(t) & = (a_{11}- t) \cdot \mathrm{det}\bigl(M_{1,1}(A-t \cdot \mathrm{I})\bigr) \\ & + \sum_{k=2}^n (-1)^{k+1} \cdot a_{k1} \cdot \mathrm{det}\bigl(M_{k,1}(A-t \cdot \mathrm{I})\bigr). \end{aligned}\tag{12.19}$ Idet $M_{1,1}(A-t \cdot \mathrm{I})= M_{1,1}(A) - t \cdot \mathrm{I}_{n-1}$ , så har vi pr. induktion, at

$\mathrm{det}\bigl(M_{1,1}(A-t \cdot \mathrm{I})\bigr) = b_0 + b_1 \cdot t + \cdots + b_{n-2} \cdot t^{n-2} + (-1)^{n-1} \cdot t^{n-1},$ hvor $b_0,b_1,\ldots,b_{n-2} \in \mathbb{F}$ betegner passende skalarer. Specielt er

$(a_{11}- t) \cdot \mathrm{det}\bigl(M_{1,1}(A-t \cdot \mathrm{I})\bigr) = c_0 + c_1 \cdot t + \cdots + c_{n-1} \cdot t^{n-1} + (-1)^{n} \cdot t^n,$ for passende skalarer $c_0,c_1,\ldots,c_{n-1} \in \mathbb{F}$ . Jf. (12.19), så er det derfor tilstrækkeligt at vise, at der for $k \geq 2$ gælder, at udtrykket

$(-1)^{k+1} \cdot a_{k1} \cdot \mathrm{det}\bigl(M_{k,1}(A-t \cdot \mathrm{I})\bigr) \tag{12.20}$ er polynomiel i $t$ af grad højst $n-1$ (evt. lig nul). Idet $M_{k,1}(A-t \cdot \mathrm{I}) = M_{k,1}(A) - t \cdot M_{k,1}(\mathrm{I})$ , så følger det sidste udsagn af Lemma 12.25.

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et vektorrum $V$ af endelig dimension $>0$ . Da er det karakteristiske polynomium $p_L$ et polynomium af grad lig $\mathrm{dim}(V)$ .

Bevis

Lad $\mathcal{V}$ betegne en basis for $V$ bestående af $n=\mathrm{dim}(V)$ elementer. Idet $p_L$ er identisk med $p_A$ , for $A = {_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så følger resultatet af Proposition 12.26.

Vi kan nu definere:

[Algebraisk multiplicitet] Lad $\lambda \in \mathbb{F}$ betegne en skalar. Multipliciteten af roden $\lambda$ i det karakteristiske polynomium $p_L$ kaldes for den algebraiske multiplicitet af $\lambda$ for $L$ , og betegnes med $\mathrm{Alg}_L(\lambda)$ . Såfremt $L=L_A$ for en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så anvender vi også betegnelsen $\mathrm{Alg}_A(\lambda)$ for den algebraiske multiplicitet.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_3(\mathbb{R})$ betegne en matrix med karakteristik polynomium givet ved

$p_A(t) = (t-1)(1-t)(2-t), \text{ for } t \in \mathbb{R}.$ Angiv den algebraiske multiplicitet $\mathrm{Alg}_A(1)$ af $1$ for den lineære operator $L_A$ defineret ved $A$ .

$0$

$1$

$2$

$3$

definition

Det bemærkes, jf. Proposition 12.24, at $\mathrm{Alg}_L(\lambda)>0$ hvis og kun hvis $\lambda$ er en egenværdi for $L$ . Tilsvarende egenskab er gældende for $\mathrm{Geo}_L(\lambda)$ , og det er derfor fristende at tro, at de geometriske og algebraiske multipliciteter er ens. Dette er dog ikke tilfældet, hvilket følgende eksempel viser:

Betragt den reelle matrix

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ,$ med karakteristisk polynomium

$\begin{aligned} p_A(\lambda) & = \mathrm{det}(A - \lambda \cdot \mathrm{I}) \\ & = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1- \lambda \\ \end{pmatrix} \\ & = (1-\lambda)^2 \\ & = (\lambda -1)^2. \end{aligned}$ Heraf ses, at $1$ er den eneste egenværdi for $A$ , og at

$\mathrm{Alg}_A(1)= 2.$ Derimod beregnes $\mathrm{Geo}_A(1)$ som dimension af nulrummet af

$A-I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} ,$ dvs. til

$\mathrm{Geo}_A(1) = 1.$

Vi kan dog vise:

Lad $\lambda \in \mathbb{F}$ . Så

$\mathrm{Geo}_L(\lambda) \leq \mathrm{Alg}_L(\lambda).$

Bevis

Hvis $\mathrm{Geo}_L(\lambda)=0$ , så er udsagnet oplagt. Antag derfor, at $\mathrm{Geo}_L(\lambda)>0$ , og lad

$\mathcal{W}= ({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_d),$ betegne en basis for egenrummet $E_L(\lambda)$ . Udvid herefter $\mathcal{W}$ til en basis

$\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n),$ for $V$ . Idet ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_d$ er egenvektorer for $L$ , så vil

$L({\bm{v}}_i) = \lambda \cdot {\bm{v}}_i.$ Specielt vil

$[L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{V}} = \lambda \cdot \bm{e}_i \quad \text{for } i=1,2,\ldots,d,$ og de første $d$ søjler i matrixrepræsentationen $A={_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ er dermed identisk med de tilsvarende søjler i $\lambda \cdot \mathrm{I}$ , ifølge Definition 8.14. Lad nu $t \in \mathbb{F}$ . Så har $A - t \cdot \mathrm{I}=(b_{ij})$ formen

$A-t \cdot \mathrm{I} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} \lambda-t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda-t & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda-t \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} b_{1,d+1} & \cdots & b_{1,n} \\ b_{2,d+1} & \cdots & b_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{d,d+1} & \ldots & b_{d,n} \\ b_{d+1,d+1} & \ldots & b_{d+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,d+1} & \ldots & b_{n,n} \end{matrix} \end{pmatrix} .$ En rekursiv udvikling af determinanten for $A-t \cdot \mathrm{I}$ efter de første $d$ søjler giver da

$\begin{aligned} p_L(t) & = p_A(t) \\ & = \mathrm{det}(A-t \cdot I) \\ & = (\lambda-t)^d \cdot \mathrm{det} \begin{pmatrix} b_{d+1,d+1} & \ldots & b_{d+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,d+1} & \ldots & b_{n,n} \end{pmatrix} , \end{aligned}$ hvoraf den algebraiske multiplicitet af $\lambda$ aflæses til mindst $d$ . Dvs.

$\mathrm{Alg}_L(\lambda) \geq d = \mathrm{Geo}_L(\lambda),$ som ønsket.

Vi har også følgende uligheder.

Lad $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ betegne parvist forskellige egenværdier for en lineær operator $L : V \rightarrow V$ . Så er

$\sum_{i=1}^k \mathrm{Geo}_L(\lambda_i) \leq \sum_{i=1}^k \mathrm{Alg}_L(\lambda_i) \leq \mathrm{dim}(V).$

Bevis

Den første ulighed følger af Proposition 12.30. Den anden ulighed følger, idet summen af rodmultipliciterne for et polynomium maksimalt er lig graden af polynomiet. Dermed er

$\sum_{i=1}^k \mathrm{Alg}_L(\lambda_i) \leq \deg(p_L),$ og man skal derfor blot observere, at graden af $p_L$ er lig $\mathrm{dim}(V)$ ifølge Korollar 12.27.

Med en lille tilføjelse til beviset for Proposition 12.30 så kan man vise, at $\mathrm{Geo}_L(\lambda)= \mathrm{Alg}_L(\lambda)$ hvis og kun hvis $N(A-\lambda \mathrm{I}) = N((A-\lambda \mathrm{I})^2)$ . Det sidste udsagn er desuden ækvivalent med, at nulrummet $N(A-\lambda \mathrm{I})$ og søjlerummet $R(A-\lambda \mathrm{I})$ kun har nulvektoren til fælles. Pointen er, at $\mathrm{Geo}_L(\lambda)= \mathrm{Alg}_L(\lambda)$ netop når matricen (i beviset for Proposition 12.30)

$\begin{pmatrix} b_{d+1,d+1} & \ldots & b_{d+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,d+1} & \ldots & b_{n,n} \end{pmatrix},$ er invertibel for $t=\lambda$ . Detaljerne overlades til den interessede læser.

12.4 Antallet af egenværdier

Indtil videre har vi studeret egenvektorer og egenværdier ud fra antagelsen om, at de eksisterer. Det er dog ikke alle lineære operatorer $L : V \rightarrow V$ der har egenvektorer.

Betragt den reelle matrix

$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,$ og den tilsvarende lineære operator

$\begin{aligned} L=L_A : \mathbb{R}^2 & \rightarrow \mathbb{R}^2, \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & \mapsto A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} . \end{aligned}$ Det bemærkes, at $L({\bm{v}}) = \hat {\bm{v}}$ er den såkaldte hat-vektor hørende til ${\bm{v}}$ ; dvs. en rotation af ${\bm{v}}$ på $90$ -grader modsat urets retning. Intuitivt er det derfor oplagt, at $L({\bm{v}})=\hat {\bm{v}}$ aldrig er et multiplum af ${\bm{v}}$ med mindre ${\bm{v}} = \bm{0}$ . Mere præcist så kan man argumentere, at det karakteristiske polynomium for $L$

$p_L(t) = t^2 +1, \quad \text{for alle } t \in \mathbb{R},$ er et reelt polynomium uden reelle rødder.

Quiz

Angiv en reel $2 \times 2$ matrix (forskellig fra den i det foregående eksempel) der ikke har nogen egenværdier.

Dit svar: Det er en

Såfremt $L : V \rightarrow V$ er en lineær operator på et endeligt dimensionalt vektorrum $V$ af dimension $>0$ , så vil $L$ have egenværdier (og dermed egenvektorer) hvis og kun hvis det karakteristiske polynomium $p_L$ har rødder. Som eksemplet ovenfor viser, så er dette ikke altid tilfældet. For specielle legemer, de såkaldt algebraisk lukkede legemer, vil polynomier (som ikke er konstante) altid have rødder. Det simpleste eksempel på et algebraisk lukket legeme er legemet $\mathbb{C}$ af komplekse tal. Vi har her følgende sætning, som vi vil anvende uden bevis:

[Algebraens Fundamentalsætning] Ethvert, ikke-konstant, komplekst polynomium har en kompleks rod. Specielt kan ethvert, ikke-konstant, komplekst polynomium $p$ opspaltes på formen

$p(x) = \alpha \cdot (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{C},$ hvor $\alpha \neq 0$ er en kompleks skalar, $\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_l$ er parvist forskellige komplekse skalarer, mens $m_1,\ldots, m_l$ er naturlige tal. Alle størrelser $\alpha,\alpha_1,\ldots,\alpha_l$ samt $m_1,\ldots, m_l$ er desuden entydigt bestemte.

Specielt har vi, at alle karakteristiske polynomier for lineære operatorer på $\mathbb{C}$ -vektorrum af endelig dimension $>0$ har rødder. Dvs.:

Lad $L : V \rightarrow V$ betegne en lineær operator på et endeligt dimensionalt komplekst vektorrum af dimension $>0$ . Så har $L$ en egenværdi og dermed også en tilhørende egenvektor.